<html>
 <head>
  <meta charset="utf-8"/>
  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, maximum-scale=1, user-scalable=no" name="viewport"/>
  <title>
   Editor: 泊松低方差计数数据建模问题  | 数螺 | NAUT IDEA
  </title>
  <link href="http://cdn.bootcss.com/bootstrap/3.3.6/css/bootstrap-theme.min.css" rel="stylesheet"/>
  <link href="http://cdn.bootcss.com/bootstrap/3.3.6/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet"/>
  <style type="text/css">
   #xmain img {
                  max-width: 100%;
                  display: block;
                  margin-top: 10px;
                  margin-bottom: 10px;
                }

                #xmain p {
                    line-height:150%;
                    font-size: 16px;
                    margin-top: 20px;
                }

                #xmain h2 {
                    font-size: 24px;
                }

                #xmain h3 {
                    font-size: 20px;
                }

                #xmain h4 {
                    font-size: 18px;
                }


                .header {
	           background-color: #0099ff;
	           color: #ffffff;
	           margin-bottom: 20px;
	        }

	        .header p {
                  margin: 0px;
                  padding: 10px 0;
                  display: inline-block;  
                  vertical-align: middle;
                  font-size: 16px;
               }

               .header a {
                 color: white;
               }

              .header img {
                 height: 25px;
              }
  </style>
  <script src="http://cdn.bootcss.com/jquery/3.0.0/jquery.min.js">
  </script>
  <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript">
   MathJax.Hub.Config({
          tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]},
          TeX: {equationNumbers: {autoNumber: "AMS"}}
        });
  </script>
  <script src="http://nautstatic-10007657.file.myqcloud.com/static/css/readability.min.js" type="text/javascript">
  </script>
  <script type="text/javascript">
   $(document).ready(function() {
                 var loc = document.location;
                 var uri = {
                  spec: "http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/",
                  host: "http://cos.name",
                  prePath: "http://cos.name",
                  scheme: "http",
                  pathBase: "http://cos.name/"
                 };
    
                 var documentClone = document.cloneNode(true);
                 var article = new Readability(uri, documentClone).parse();
     
                 document.getElementById("xmain").innerHTML = article.content;
                });
  </script>
  <!-- 1466442441: Accept with keywords: (title(0.333333333333):统计学,方差,门户网站,建模,问题,计数,服务平台,中国,数据, topn(0.566666666667):频数,方差,剂量,标准,R语言,分布,事件,过程,加权,泊松,显著性,假设,模型,均值,参数,文章,数据,胚胎,函数,差异,建模,检验,小鼠,问题,计数,编辑部,拟合,分类,p值,参数估计).-->
 </head>
 <body class="single single-post postid-2317 single-format-standard sidebar" onload="">
  <div class="header">
   <div class="container">
    <div class="row">
     <div class="col-xs-6 col-sm-6 text-left">
      <a href="/databee">
       <img src="http://nautidea-10007657.cos.myqcloud.com/logo_white.png"/>
      </a>
      <a href="/databee">
       <p>
        数螺
       </p>
      </a>
     </div>
     <div class="hidden-xs col-sm-6 text-right">
      <p>
       致力于数据科学的推广和知识传播
      </p>
     </div>
    </div>
   </div>
  </div>
  <div class="container text-center">
   <h1>
    Editor: 泊松低方差计数数据建模问题
   </h1>
  </div>
  <div class="container" id="xmain">
   <div class="hfeed site" id="page">
    <header class="site-header" id="masthead" role="banner">
     <div id="cos-logo">
      <a href="http://cos.name/">
       <img src="http://cos.name/wp-content/themes/COS-kermesinus/images/headers/cos-logo.png"/>
      </a>
     </div>
     <div class="navbar" id="navbar">
      <nav class="navigation main-navigation" id="site-navigation" role="navigation">
       <h3 class="menu-toggle">
        菜单
       </h3>
       <a class="screen-reader-text skip-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#content" title="跳至内容">
        跳至内容
       </a>
       <div class="menu-%e6%88%91%e7%9a%84%e8%8f%9c%e5%8d%95-container">
        <ul class="nav-menu" id="menu-%e6%88%91%e7%9a%84%e8%8f%9c%e5%8d%95">
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-home menu-item-4746" id="menu-item-4746">
          <a href="http://cos.name">
           主页
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-has-children menu-item-8120" id="menu-item-8120">
          <a href="http://cos.name/cn">
           论坛
          </a>
          <ul class="sub-menu">
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8124" id="menu-item-8124">
            <a href="http://cos.name/cn/wp-login.php?action=register">
             论坛注册
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8125" id="menu-item-8125">
            <a href="http://cos.name/cn/wp-login.php">
             论坛登录
            </a>
           </li>
          </ul>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8110" id="menu-item-8110">
          <a href="http://cos.name/books/">
           图书资料
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8112" id="menu-item-8112">
          <a href="http://cos.name/videos">
           视频教程
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8333" id="menu-item-8333">
          <a href="http://cos.name/salon/">
           统计沙龙
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8111" id="menu-item-8111">
          <a href="http://cos.name/chinar/">
           R语言会议
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8109" id="menu-item-8109">
          <a href="http://cos.name/training/">
           讲座与培训
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8115" id="menu-item-8115">
          <a href="http://cos.name/cn/forum/comprehensive/job/">
           招聘信息
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-has-children menu-item-4780" id="menu-item-4780">
          <a href="http://cos.name/about">
           关于我们
          </a>
          <ul class="sub-menu">
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8113" id="menu-item-8113">
            <a href="http://cos.name/2008/11/how-to-work-with-cos/">
             加入我们
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8119" id="menu-item-8119">
            <a href="http://cos.name/donate/">
             赞助我们
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8114" id="menu-item-8114">
            <a href="http://cos.name/cn/forum/26">
             项目合作
            </a>
           </li>
          </ul>
         </li>
        </ul>
       </div>
       <form action="http://cos.name/" class="search-form" method="get" role="search">
        <label>
         <span class="screen-reader-text">
          搜索：
         </span>
        </label>
       </form>
      </nav>
      <!-- #site-navigation -->
     </div>
     <!-- #navbar -->
    </header>
    <!-- #masthead -->
    <div class="site-main" id="main">
     <div class="content-area" id="primary">
      <div class="site-content" id="content" role="main">
       <article class="post-2317 post type-post status-publish format-standard hentry category-featured category-data category-biostat category-classical category-inference tag-353 tag-351 tag-350 tag-352" id="post-2317">
        <header class="entry-header">
         <h1 class="entry-title">
          泊松低方差计数数据建模问题
         </h1>
         <div class="entry-meta">
          <span class="date">
           <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/" rel="bookmark" title="链向泊松低方差计数数据建模问题的固定链接">
            <time class="entry-date" datetime="2010-08-28T21:08:34+00:00">
             2010/08/28
            </time>
           </a>
          </span>
          <span class="categories-links">
           <a href="http://cos.name/category/website/featured/" rel="category tag">
            推荐文章
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/data/" rel="category tag">
            数据分析
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/data/biostat/" rel="category tag">
            生物与医学统计
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/classical/" rel="category tag">
            经典理论
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/classical/inference/" rel="category tag">
            统计推断
           </a>
          </span>
          <span class="tags-links">
           <a href="http://cos.name/tag/%e5%88%86%e5%b8%83%e6%8b%9f%e5%90%88/" rel="tag">
            分布拟合
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e5%8a%a0%e6%9d%83%e6%b3%8a%e6%9d%be%e5%88%86%e5%b8%83/" rel="tag">
            加权泊松分布
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%b3%8a%e6%9d%be%e4%bd%8e%e6%96%b9%e5%b7%ae/" rel="tag">
            泊松低方差
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e7%ba%af%e7%94%9f%e8%bf%87%e7%a8%8b%e6%a8%a1%e5%9e%8b/" rel="tag">
            纯生过程模型
           </a>
          </span>
          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/editor/" rel="author" title="查看所有由COS编辑部发布的文章">
            COS编辑部
           </a>
          </span>
         </div>
         <!-- .entry-meta -->
        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <p>
          <strong>
           本文作者为中国人民大学统计学院饶燕芳同学，由COS编辑部审核发表，略有修改。
           <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/poisson.pdf" target="_blank">
            点击此处下载/阅读本文PDF版本
           </a>
          </strong>
         </p>
         <h2>
          一、问题的引出
         </h2>
         <p>
          在数据分析和数据建模的过程中，我们通常需要假定数据变量服从某种分布，以便于建立与分布参数有关的模型或方程，之后利用观测值对参数进行估计，从而达到研究和分析的目的。由于变量是随机的，我们无法确定变量在某个情况下的具体取值，因此通过假定它服从某个分布，然而感兴趣的只是它们的平均水平，即各变量之间的关系都建立在均值的基础上，方差则用于计算估计的精度和假设检验。而大多数情况下，一旦分布的假定确定，随之确定的也就是数据必须符合该分布的均值和方差特征。对于许多单参数分布，均值和方差均有一一对应的关系，如果均值确定，方差由于是均值的函数也就自然地确定下来，例如伯努利分布具有单参数$p$，均值$\mu=p$，方差$v=p(1-p)$，即有$v=v(\mu)=\mu(1-\mu)$。在这种单参数的情况下，如果观测数据的均值符合假定（即认为$p\approx\bar{Y}$），数据的方差和均值就必须满足一定条件（即例如假定$Y$服从两点分布，认为$p\approx\bar{Y}$，则方差应该有$Var(Y)=p(1-p)\approx\bar{Y}(1-\bar{Y})$），此时若观测到方差系统地大于分布假设下（此时常被观测均值决定）的方差，就出现了所谓的“超散布性”(overdispersion)，类似地，若出现方差偏小的情况，也就相应出现了“超聚集性”(underdispersion)。
         </p>
         <p>
          具体到本文需要讨论的泊松分布：现实中常常出现方差不满足假定的情况。由于参数为 的泊松分布具有均值和方差相等的特点，如果假定服从泊松分布的数据的样本方差大于模型估计的方差——即样本均值，就出现了“超散布性”，本文称之为泊松分布高方差(extra-Poisson variation)，而当样本方差低于样本均值时，称此时的“超聚集性”为泊松分布低方差，后文出现的泊松低方差都符合该定义。
         </p>
         <p>
          正如之前所说，通常建立模型如线性回归都基于均值，因此方差违反假定分布并不影响参数估计效率，但在区间估计和假设检验时就会出现问题。当“超聚集性”出现时，真实的方差会被低估，这将会错误的表现出数据中原本不显著的差异，相反地，“超聚集性”出现时，真实的方差会被高估，这样可能无法检验出组间分布的真实差异，参数的置信区间也会给得过大。因此对于方差超扩散或超聚集的数据，方差问题的处理显得尤为重要，针对此的模型建立是该类问题分析的关键。
         </p>
         <p>
          泊松分布的超散布性数据在现实中较为常见，简单的序列正相关和非齐次性都可能引起超散布性的出现。泊松低方差的情况则较为少见，但在医学和社会领域中却经常出现。本文的目标就在于探讨针对泊松低方差数据的分布模型。
         </p>
         <h2>
          二 两种泊松低方差问题的处理方法
         </h2>
         <p>
          泊松分布为模拟计数数据提供了良好的模型，但均值和方差相等的要求在现实中却显得太为苛刻。因此处理泊松低方差的方法探究就集中在合适的修正分布的寻找上。能够描述计数数据且具有泊松低方差特点（即均值大于方差）的分布选择并不太多，其中包括两种典型的泊松低方差模型：加权泊松分布模型和 CBR 分布模型。
         </p>
         <h3>
          1. 加权泊松分布
         </h3>
         <p>
          Rao CR (1965)提出，若随机变量Y服从加权泊松分布，其密度函数为
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $
          <br/>
          P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k\omega_k }{Wk!}, k=0,1, \ldots ; \lambda&gt;0
          <br/>
          $
         </p>
         <p style="text-align: right;">
          $
          <br/>
          W=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k\omega_k }{k!}
          <br/>
          $                                                     (a)
         </p>
         <p>
          它是保证求和为1的标准化因子。
         </p>
         <p>
          本文讨论一种较为简单的权重（Martin S R and P Besbeas，2004），即
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $\omega_k=\left( \begin{array}{ll} e^{\beta_1(\lambda-k)} &amp; ,k\leq\lambda\\e^{\beta_2(\lambda-k)} &amp; ,k&gt;\lambda\\\end{array} \right)$
         </p>
         <p>
          对于$\beta_1,\beta_2&gt;0$，它的分布类似将概率密度图线向均值“挤压”(见图1)，分布更加集中，相对于标准的泊松分布就有更小的方差，称该分布为三参数指数加权泊松分布，记为 EWP3 。特殊地，当$\beta_1=\beta_2=\beta$时，称为两参数指数加权泊松分布，记为 EWP2 分布，当$\beta=0$时退化为标准泊松分布。对于EWP2 和 EWP3 ，它们拥有更高的峰值，标准化因子 W 可以由式 (a) 导出。尽管矩的表达没有显式，但可以确定分布的方差随着$\beta_1,\beta_2$或$\beta$的增大而降低。
         </p>
         <figure class="wp-caption aligncenter" id="attachment_2360" style="width: 299px">
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo1.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo1-299x299.png"/>
          </a>
          <figcaption class="wp-caption-text">
           图1 lambda=10,beta1=0.1,beta2=0.2的EWP分布
          </figcaption>
         </figure>
         <p>
          对于加权泊松分布的探究使得权重还有一些别的形式，如 Castillo and Pe´rez-Casany (1998) 提出的幂加权泊松分布(PLWP)，Cameron 和 Johansson (1997) 使用的泊松多元加权分布 PPp 等。
         </p>
         <h3>
          2. 纯生过程模型（CBR）
         </h3>
         <p>
          不得不提的是，在处理泊松低方差数据的问题中还有一类较为有效的方法。由Faddy(1997)在随机过程的基础上提出这种变出生概率(CBR)分布。这个分布是建立在广义泊松分布的基础上：Faddy 认为，任何关于 {0,1,2,…}的离散分布都有广义泊松特性，即纯生过程。考虑一个 Markov 计数过程，$X(t)$为$(0,t)$内的事件发生数，在$(t,t+\sigma t)$内有转移概率：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $
          <br/>
          P\left(X(t+\sigma)=n+1|X(t)=n\right)=\lambda_n\sigma+o(\sigma)
          <br/>
          $
         </p>
         <p>
          其中$\lambda_n$为事件数为n时的事件发生率，我们感兴趣的只是某一时刻$X(t)$的分布，这里t可以不失一般性地取1，在此模型中，时刻1时的事件数$X$的分布具有如下形式：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $(p_1(1),p_2(1),\ldots,p_n(1))=(1,0,0,\cdots,0)exp(Q)$
         </p>
         <p>
          其中
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $p_i(1)=P\left(X(1)=i\right)$
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $exp(Q)=e^Q=E+\frac{Q}{1}+\frac{Q^2}{2!}+\frac{Q^3}{3!}+\cdots$
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $
          <br/>
          Q=\left( \begin{array}{ccc} -\lambda_1 &amp; \lambda_1 &amp; 0 &amp; \ldots &amp; 0\\0 &amp;-\lambda_2 &amp; \lambda_2 &amp; \ldots &amp; 0\\0 &amp; 0 &amp; -\lambda_3 &amp; \ldots &amp; \vdots\\ \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \lambda_{n-1}\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \ldots &amp; -\lambda_n\\\end{array} \right)
          <br/>
          $
         </p>
         <p>
          而上式的成立可由 Kolmogorov 微分方程简单推导而来：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $p'(t)=Qp(t); p(t)=ce^{Qt}; p(1)=ce^Q;$
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $p(0)=c; p(1)=p_0e^Q; p(0)=(1,0,0,\ldots,0)$
         </p>
         <p>
          这里认为初始时刻的事件数是从1开始的。因此，CBR 分布是由一系列不同的事件发生率参数$\left(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k,\ldots\right)$决定的。通常可以认为$\lambda_k$是k的函数。Faddy 在1997年已经证明，对于递增的$\left(\lambda_1&lt;\lambda_2&lt;\cdots&lt;\lambda_n&lt;\cdots\right)$,$X(t)$将表现出泊松高方差特征，而当$\lambda_1&gt;\lambda_2&gt;\cdots&gt;\lambda_n&gt;\cdots$递减时，也就表现出泊松低方差特征。
         </p>
         <h2>
          三、参数估计
         </h2>
         <p>
          上述两种分布的参数估计都可通过极大似然法求出。记$x_i$为第i个样本的事件发生数，观测数据中中事件数k的频数$f_k$(k=1,2,3,…)，则 EWP2 和  EWP3 分布的负对数似然方程为（已去除与参数无关的项$lnk!$）：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $-LnL(\lambda,\beta_1,\beta_2)=n[\lambda-\bar{x}ln\lambda+lnW]+\beta_1\sum^{[\lambda]}_{k=x_{min}}(\lambda-k)f_k+
          <br/>
          \beta_2\sum^{x_{max}}_{k=[\lambda]+1}(k-\lambda)f_k$ (b)
         </p>
         <p>
          通过求使（b）式达到最小值的$\hat{\lambda},\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_2$得到估计参数。
         </p>
         <p>
          对于纯生过程模型，概率分布向量$(p_1(1),p_2(1),\ldots,p_N(1))$就是矩阵$exp(Q)$的第一行，若$N=x_{max}$，其负对数似然函数为：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $-LnL(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_N)=\sum^N_{k=1}f_klnp_k(1)$
         </p>
         <p>
          通过最小化上式即可得到$(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_N)$的极大似然估计。而参数估计的方差可以通过数值计算时产生的 Hessian 矩阵得到。
         </p>
         <h2>
          四、数据实例
         </h2>
         <p>
          我们引用 Faddy（2001）的小鼠胚胎数据，作者已对该数据用 CBR 方法做了较好的分析。在产生该数据的实验中，对已经怀孕的小鼠用药（除草剂2,4,5-T），同时记录小鼠子宫上的胚胎着床数。数据给出了7种剂量水平下胚胎着床数的频率分布。在交配后的6-14天内，往怀孕的雌鼠体内注射某种剂量水平的2,4,5-T。在分娩之前，将雌鼠杀死，确定其体内的活胎数目。0剂量组的频数分布便具有泊松低方差特征。0剂量组数据的均值为11.55，方差为9.92，方差均值比为0.859。
         </p>
         <figure class="wp-caption aligncenter" id="attachment_2404" style="width: 300px">
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo21.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo21-300x300.png"/>
          </a>
          <figcaption class="wp-caption-text">
           图2
          </figcaption>
         </figure>
         <p>
          使用泊松分布对参数进行估计，参数 的最大似然估计为样本均值11.55，图2显示了估计的泊松分布和样本观测频率的差异。尽管拥有相同的均值，但由于数据具有泊松低方差特点，其经验分布的比泊松分布集中得多，可以说此时使用泊松分布模型的效果是差强人意的，显然不是一个合适的模型。
         </p>
         <h3>
          1. 加权泊松分布
         </h3>
         <p>
          分别使用 EWP2 和 EWP3 分布对0剂量组数据进行参数的最大似然估计。其中EWP2分布中，$\hat{\lambda}= 11.79$， $\hat{\beta}=0.11$，EWP3中，$\hat{\lambda}=14.56$，$\hat{\beta}_1=-0.15$，$\hat{\beta}_2=0.68$，估计的 EWP2 、EWP3 分布如图3。由于分布具有了泊松低方差特征，通过权重参数$\beta(\beta_1,\beta_2)$将分布向中部“挤压”，分布更加集中且峰值更高，估计的效果相比之下比泊松分布好很多。EWP2 由于在 $\lambda$ 的左右都赋予相等的权重，因此对称的“压缩”模式不如 EWP3 的非对称“压缩”有弹性，从观测数据经验分布的轻微左偏也暗示了允许$\beta_1,\beta_2$取不同值的 EWP3 分布在分布的拟合上更具优势。
         </p>
         <figure class="wp-caption aligncenter" id="attachment_2362" style="width: 299px">
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo3.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo3-299x299.png"/>
          </a>
          <figcaption class="wp-caption-text">
           图3 EWP2 、EWP3和CBR的分布拟合图
          </figcaption>
         </figure>
         <h3>
          2. CBR分布
         </h3>
         <p>
          CBR参数的极大似然估计$\hat{\lambda}_1,\hat{\lambda}_2,\ldots,\hat{\lambda}_{21}$= {4.66, 7.90, 22.97, 15.02, 18.23, 19.18, 16.49, 14.40, 13.15, 10.01, 9.33, 6.90, 6.32, 6.26, 5.40, 6.28, 3.27, 0.00, 2.00, 2.00, 1.00}，图3中显示的 CBR 拟合效果非常好，几乎与经验分布重合。但模型中含有过多的参数使得估计精度大大降低，其中$\hat{\lambda}_3$的估计标准误为12.59，置信区间宽近50。虽然对于拥有多个事件发生率$\hat{\lambda}_k$的 CBR 分布能够灵活地刻画事件发生数之间的任何概率变化，但参数时过多模型的过度拟合是没有太大意义的，也不易于控制和分析。如前所述，可以利用该模型的$\lambda$建立关于k的函数，从而减少模型中的参数个数，在该例子中事件数分类较多时这种做法就显得十分必要。Faddy(2001) 就从众多函数形式中找到了一种能很好地模拟事件数发生概率在最初增长较快而后缓慢下降特点的四参数模型：
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $\lambda_k=a(k^be^{-ck}+d), k\geq1$
         </p>
         <p>
          对于0剂量组数据，$\left(a,b,c,d\right)$的估计值为 {1.360, 3.507, 0.648, 2.953}，估计的分布与经验分布的对比如图4，尽管模型中减少了17个参数，但由于函数形式的合理，该分布仍旧保持较好的拟合效果，拟合优度$\chi^2(13)=6.755$，p值为0.914。
         </p>
         <figure class="wp-caption aligncenter" id="attachment_2363" style="width: 299px">
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo4.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/08/photo4-299x299.png"/>
          </a>
          <figcaption class="wp-caption-text">
           图4
          </figcaption>
         </figure>
         <p>
          针对 2-4-5T 对小鼠胚胎着床影响的实验数据的泊松低方差特性，相对于标准泊松，加权泊松 EWP2、EWP3 和 CBR 在分布上的修正都使模型有许多改进，能够更好地表现出数据中蕴含的现实含义，其生物学意义的解释也更加清晰：在发育毒性的研究中，药物会影响早期的繁殖过程，阻止胚胎的形成。对于多胎的动物（如老鼠），参数起初的增长表示了受精胚胎着床过程可以进一步刺激排卵，之后的下降说明受精卵着床过程的减慢，这段平缓的过程也就使得方差有所降低。
         </p>
         <h3>
          3. 组别分析
         </h3>
         <p>
          之所以选择一个足够合适的分布的重要的意义不仅在于它能较合适地刻画观测数据，更在于它能够精确地刻画不同组别之间的差异。Faddy(2001)表明75剂量组和90剂量组的频数分布相似，并不存在显著性的差异，文章这部分就将比较标准泊松、EWP2、EWP3 和 CBR 这四种分布在检验0剂量组和75/90剂量组之间差异的能力。过程中使用似然比检验。
         </p>
         <p>
          似然比检验在大样本时具有渐进性。似然比统计量为
         </p>
         <p style="text-align: center;">
          $\Lambda(x)=\frac{sup{L(\theta|x):\theta\in\Theta_o}}{sup{L(\theta|x):\theta\in\Theta}}$
         </p>
         <p>
          当样本量n趋于无穷，$-2log(\Lambda)$将渐进服从$\chi^2(r)$分布，r为参数空间$\Theta$ and $\Theta_o$的维数之差。
         </p>
         <table align="center" frame="hsides">
          <caption>
           表1  四种分布检验效果比较
          </caption>
          <tbody>
           <tr>
            <th>
            </th>
            <th>
             <strong>
              $-2log(\Lambda)$
             </strong>
            </th>
            <th>
             自由度r
            </th>
            <th>
             p值
            </th>
           </tr>
           <tr>
            <th>
             <strong>
              标准泊松
             </strong>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              2.690
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              1
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              0.1000
             </span>
            </th>
           </tr>
           <tr>
            <th>
             <strong>
              EWP2
             </strong>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              4.789
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              2
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              0.0912
             </span>
            </th>
           </tr>
           <tr>
            <th>
             <strong>
              EWP3
             </strong>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              11.980
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              3
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              0.0075
             </span>
            </th>
           </tr>
           <tr>
            <th>
             <strong>
              CBR
             </strong>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              10.764
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              4
             </span>
            </th>
            <th>
             <span style="font-weight: normal;">
              0.0294
             </span>
            </th>
           </tr>
          </tbody>
         </table>
         <p>
          标准泊松分布的0剂量组和75/90剂量组的极大对数似然函数值分别为-1837.763和-318.618 ，即负两倍似然比为2.691（自由度为1），p值为0.10（实际值大于0.1），即使在10%的显著性水平上都无法认为0剂量和75/90剂量对小鼠胚胎着床的影响是显著的。EWP2 的负两倍似然比为4.789，p值比标准泊松略小，为0.0912，在10%的显著性水平下可以认为0剂量组和75/90剂量组小鼠胚胎着床的显著差异，但如果显著性水平在5%则无法拒绝原假设。相比之下，CBR和EWP3的负两倍似然比统计量的p值都小得多，在通常5%的显著性水平下能够有力地表明0剂量组和75/90剂量组之间的差异是显著的，且其中 EWP3 的检验效率甚至明显高于 CBR，p值0.0075达到高度显著。
         </p>
         <p>
          以上检验至少说明在0剂量组和75/90剂量组的比较上 EWP2、EWP3 和 CBR 都优于标准泊松，能够有效地检测出不同组别之间的分布差异，从而证明了本文之初的观点：标准泊松无法准确刻画该实验数据具有泊松低方差的特性，因此将高估剂量组内的方差，在检验上无法有效地识别组间真实存在的差异。如果轻易地使用泊松分布进行分析，将得出0剂量组和75/90剂量组无显著差异的错误结论。而加权泊松分布和 CBR 都在某种程度上克服了标准泊松的缺点，其中 EWP3 和 CBR 则“灵敏”地发现了组间的显著性不同。且 EWP3 能够表现地比 EWP3 出色，还因为剂量组下的频数分布略微左偏，2个加权参数容许 EWP3 更贴切地拟合原始数据的真实分布。
         </p>
         <h2>
          五、结论
         </h2>
         <p>
          当数据出现“超散布性”和“超聚集性”时可能出现的问题，分布假定的错误将分别低估和高估真实数据的方差，从而影响模型的合理性，有时甚至导致得出错误的结论。本文着眼于一类典型的“超聚集性”问题——泊松低方差特性，并针对该类问题的解决归纳了两种方法：泊松加权分布模型和纯生过程分布模型。前者通过对标准泊松分布进行加权修正，克服了泊松分布均值和方差必须相等的局限性，其中 EWP2 和 EWP3 具有形式简单且适用性强的特点，而 EWP3 在很多情况下会优于 EWP2，多一个参数能够较好地模拟较普遍的不对称的单峰经验分布。而纯生过程分布模型在思路上则有很大不同，它基于随机过程中的事件发生机制，对于分类的事件计数数据在理论上有很强的适用性。CBR 能够用足够多的参数$\lambda_k$模拟不同事件数间频率的变化特征，通过建立$\lambda_k$与k的合适的函数形式，可以构造出任何离散分布，尤其适和分析分类较多的数据。此外，$\lambda_k$的函数变化还有利于结合数据在真实世界中的内在的形成原理，对基于不同事件数时刻的时间发生率$\lambda_k$有比较完整的描述，能够赋予参数合理的解释。但 CBR 不适用于分类较少的计数数据，会由于缺少事件产生过程信息它无法表现出其优势。
         </p>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
        <footer class="entry-meta">
         <div class="author-info">
          <div class="author-avatar">
           <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/2fe058e9e383c85afa949b36e869432f?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
          </div>
          <!-- .author-avatar -->
          <div class="author-description">
           <h2 class="author-title">
            关于COS编辑部
           </h2>
           <p class="author-bio">
            本账户为COS编辑部公共账户，目前由朱雪宁任主编，王小宁任副主编，编辑有：冯璟烁、吴佳萍、张心雨、施涛、霍志骥、何通、冷静、尤晓斌、肖楠、邱怡轩、高涛、谢益辉等人，主要负责主站文章的规范化编辑以及相关论文、书籍、手册的整理、编纂、出版等工作。
            <a class="author-link" href="http://cos.name/author/editor/" rel="author">
             查看所有由COS编辑部发表的文章
             <span class="meta-nav">
              →
             </span>
            </a>
           </p>
          </div>
          <!-- .author-description -->
         </div>
         <!-- .author-info -->
        </footer>
        <!-- .entry-meta -->
       </article>
       <!-- #post -->
       <nav class="navigation post-navigation" role="navigation">
        <h1 class="screen-reader-text">
         文章导航
        </h1>
        <div class="nav-links">
         <a href="http://cos.name/2010/06/3rd-china-r-beijing-summary/" rel="prev">
          <span class="meta-nav">
           ←
          </span>
          第三届中国R语言会议（北京会场）纪要
         </a>
         <a href="http://cos.name/2010/09/3rd-bbf/" rel="next">
          北京数据管理与生物统计论坛（BBF）第三次聚会见闻录
          <span class="meta-nav">
           →
          </span>
         </a>
        </div>
        <!-- .nav-links -->
       </nav>
       <!-- .navigation -->
       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          泊松低方差计数数据建模问题
         </span>
         》有5个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-1609">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1609">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/001759e7c0d7d4dcaaf96d30640ec845?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://liuxin-blog.appspot.com" rel="external nofollow">
               liuxin9023
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#comment-1609">
              <time datetime="2010-08-29T08:21:12+00:00">
               2010/08/29 08:21
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             占位 飘过
            </p>
            <p>
             文章写的很好 看完很受启发 能不能把超散布性的处理方法也写出来啊
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给liuxin9023" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/?replytocom=1609#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1609", "1609", "respond", "2317" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-rryfly odd alt depth-2" id="comment-1611">
            <article class="comment-body" id="div-comment-1611">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/cc0009fa2fab093091da21e27908107b?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                rryfly
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#comment-1611">
                <time datetime="2010-08-31T15:40:21+00:00">
                 2010/08/31 15:40
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               解决这类问题的关键在于选择合适的分布进行参数估计，文章中已经列举了相应的几种分布，之后需要判断检验的结果
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给rryfly" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/?replytocom=1611#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1611", "1611", "respond", "2317" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-1612">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1612">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/10f658f78171d411d1fc1e9a86c4ab2e?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              kimboo
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#comment-1612">
              <time datetime="2010-08-31T20:29:30+00:00">
               2010/08/31 20:29
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             华丽前十哈~
             <br/>
             有几个问题…
             <br/>
             1.加权泊松分布的W是从0开始求和还是1开始求和。
             <br/>
             2.在组别分析中的似然比检验公式是说对于同一个数据，不同的分布分别作为原假设和备择假设，但是看你下面的论述貌似是对于一个确定的分布，以不同的数据作为原假设和备择假设，来侦测组别的差异，可否对这一部分详加解释？
             <br/>
             3.既然有over或under-dispersion的问题，那么对于over的情形选择负二项分布，under时选择二项分布，不也是可以吗，这两个都是双参数分布，而且一个方差大于均值，一个方差小于均值。而修正poisson也至少需要两个参数。
             <br/>
             4.R中有无能实现估计和检验的包?
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给kimboo" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/?replytocom=1612#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1612", "1612", "respond", "2317" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1" id="comment-1784">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1784">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/2fd98f29b19c70025d172218029343c4?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              兰天
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#comment-1784">
              <time datetime="2010-12-14T23:07:44+00:00">
               2010/12/14 23:07
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             能不能把参考文献详细的列出来啊,这样更有利于读者深入阅读和研究啊!这里面的数据分析方法有很大的实用价值呢!
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给兰天" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/?replytocom=1784#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1784", "1784", "respond", "2317" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-6894">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6894">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/edc25609a26e0513c761f804a73f5e0a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              lucylucy
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#comment-6894">
              <time datetime="2015-10-13T10:25:52+00:00">
               2015/10/13 10:25
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             太有帮助了。写得很好
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给lucylucy" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/?replytocom=6894#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6894", "6894", "respond", "2317" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
        </ol>
        <!-- .comment-list -->
        <div class="comment-respond" id="respond">
         <h3 class="comment-reply-title" id="reply-title">
          发表评论
          <small>
           <a href="http://cos.name/2010/08/poisson-count-data-modeling-problem-of-low-variance/#respond" id="cancel-comment-reply-link" rel="nofollow" style="display:none;">
            取消回复
           </a>
          </small>
         </h3>
         <form action="http://cos.name/wp-comments-post.php" class="comment-form" id="commentform" method="post" novalidate="">
          <p class="comment-notes">
           <span id="email-notes">
            电子邮件地址不会被公开。
           </span>
           必填项已用
           <span class="required">
            *
           </span>
           标注
          </p>
          <p class="comment-form-comment">
           <label for="comment">
            评论
           </label>
           <textarea aria-required="true" cols="45" id="comment" maxlength="65525" name="comment" required="required" rows="8">
           </textarea>
          </p>
          <p class="comment-form-author">
           <label for="author">
            姓名
            <span class="required">
             *
            </span>
           </label>
          </p>
          <p class="comment-form-email">
           <label for="email">
            电子邮件
            <span class="required">
             *
            </span>
           </label>
          </p>
          <p class="comment-form-url">
           <label for="url">
            站点
           </label>
          </p>
          <p class="form-submit">
          </p>
          <p style="display: none;">
          </p>
          <p style="display: none;">
          </p>
         </form>
        </div>
        <!-- #respond -->
       </div>
       <!-- #comments -->
      </div>
      <!-- #content -->
     </div>
     <!-- #primary -->
     <div class="sidebar-container" id="tertiary" role="complementary">
      <div class="sidebar-inner">
       <div class="widget-area">
        <aside class="widget widget_text" id="text-3">
         <h3 class="widget-title">
          关注统计之都
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li>
            新浪微博
            <a href="http://weibo.com/cosname">
             @统计之都
            </a>
           </li>
           <li>
            人人网
            <a href="http://renren.com/cosname">
             @统计之都
            </a>
           </li>
           <li>
            Twitter
            <a href="http://twitter.com/cos_name">
             @cos_name
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-6">
         <h3 class="widget-title">
          微信公众平台
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/04/qrcode-8cm.jpg"/>
          <p style="font-size:12px;margin-left:15px">
           微信号 CapStat
          </p>
          <p>
           我们将第一时间向您推送主站和论坛的精彩内容，以及统计之都的线下活动、竞赛、培训和会议信息。
          </p>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-8">
         <h3 class="widget-title">
          站内导航
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/cn/">
             中文论坛
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/videos/">
             视频
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/salon/">
             统计沙龙
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/books/">
             图书出版
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/training/">
             教育培训
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/about/">
             关于我们
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/donate/">
             捐赠
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/chinar/">
             R语言会议
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_links" id="linkcat-2">
         <h3 class="widget-title">
          友情链接
         </h3>
         <ul class="xoxo blogroll">
          <li>
           <a href="http://stat.ruc.edu.cn" target="_blank" title="中国人民大学统计学院网站">
            中国人民大学统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://rucdmc.net">
            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://birc.gsm.pku.edu.cn/" target="_blank">
            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://tjx.cueb.edu.cn/" target="_blank" title="首都经济贸易大学统计学院网站">
            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.shookr.com/">
            数客网大数据社区
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.xueqing.tv/" target="_blank" title="数据科学在线学习平台">
            雪晴数据网
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://iera.name/" target="_blank" title="IERA是一个旨在普及、传播和增进工业工程知识的非营利性网站">
            IERA（直通IE）
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_categories" id="categories-2">
         <h3 class="widget-title">
          全部分类
         </h3>
         <label class="screen-reader-text" for="cat">
          全部分类
         </label>
         <select class="postform" id="cat" name="cat">
          <option value="-1">
           选择分类目录
          </option>
          <option class="level-0" value="925">
           cos访谈  (4)
          </option>
          <option class="level-0" value="659">
           图书出版  (5)
          </option>
          <option class="level-0" value="379">
           数学方法  (14)
          </option>
          <option class="level-1" value="381">
           分析与代数  (1)
          </option>
          <option class="level-1" value="380">
           概率论  (9)
          </option>
          <option class="level-1" value="382">
           随机过程  (5)
          </option>
          <option class="level-0" value="210">
           数据分析  (81)
          </option>
          <option class="level-1" value="203">
           多元统计  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="42">
           数据挖掘与机器学习  (42)
          </option>
          <option class="level-1" value="36">
           生物与医学统计  (17)
          </option>
          <option class="level-1" value="35">
           计量经济学  (4)
          </option>
          <option class="level-1" value="296">
           金融统计  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="303">
           风险精算  (7)
          </option>
          <option class="level-0" value="177">
           模型专题  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="38">
           回归分析  (10)
          </option>
          <option class="level-1" value="41">
           时间序列  (2)
          </option>
          <option class="level-0" value="784">
           每周精选  (24)
          </option>
          <option class="level-1" value="183">
           可视化  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="967">
           沙龙纪要  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="18">
           经典理论  (46)
          </option>
          <option class="level-1" value="37">
           抽样调查  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="4">
           统计推断  (26)
          </option>
          <option class="level-1" value="236">
           试验设计  (7)
          </option>
          <option class="level-1" value="39">
           非参数统计  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="1">
           统计之都  (279)
          </option>
          <option class="level-1" value="884">
           中国R会议  (2)
          </option>
          <option class="level-1" value="885">
           中国R语言会议  (5)
          </option>
          <option class="level-1" value="446">
           出国留学  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="179">
           推荐文章  (90)
          </option>
          <option class="level-1" value="3">
           新闻通知  (75)
          </option>
          <option class="level-1" value="263">
           统计刊物  (10)
          </option>
          <option class="level-1" value="174">
           网站导读  (40)
          </option>
          <option class="level-1" value="204">
           职业事业  (51)
          </option>
          <option class="level-1" value="213">
           高校课堂  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="178">
           统计计算  (28)
          </option>
          <option class="level-1" value="40">
           优化与模拟  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="43">
           贝叶斯方法  (6)
          </option>
          <option class="level-0" value="378">
           软件应用  (116)
          </option>
          <option class="level-1" value="44">
           统计图形  (36)
          </option>
          <option class="level-1" value="110">
           统计软件  (83)
          </option>
         </select>
        </aside>
        <aside class="widget widget_recent_comments" id="recent-comments-2">
         <h3 class="widget-title">
          最新评论
         </h3>
         <ul id="recentcomments">
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            fineboom
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/use-shiny-fleetly-set-up-visual-prototype-system/#comment-7317">
            利用shiny包快速搭建可视化原型系统
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            胡家新
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7316">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://www.zijiacha.com/category.php?id=6" rel="external nofollow">
             南糯山普洱茶
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            J
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_rss" id="rss-282869971">
         <h3 class="widget-title">
          <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topics/feed/">
           <img src="http://cos.name/wp-includes/images/rss.png"/>
          </a>
          <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topics/feed/">
           中文论坛新帖
          </a>
         </h3>
         <ul>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/417372/">
            处理时间数据和产生时间序列的问题
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/6790/">
            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/818/">
            统计学的世界（第五版）
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/16574/">
            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/417366/">
            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-2">
         <h3 class="widget-title">
          登录/RSS
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li>
            <a href="http://cos.name/wp-admin/">
             登录
            </a>
           </li>
           <li>
            <a href="http://cos.name/feed/" title="使用 RSS 2.0 同步站点内容">
             文章
             <abbr title="Really Simple Syndication">
              RSS
             </abbr>
            </a>
           </li>
           <li>
            <a href="http://cos.name/comments/feed/" title="RSS 上的最近评论">
             评论
             <abbr title="Really Simple Syndication">
              RSS
             </abbr>
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
       </div>
       <!-- .widget-area -->
      </div>
      <!-- .sidebar-inner -->
     </div>
     <!-- #tertiary -->
    </div>
    <!-- #main -->
    <footer class="site-footer" id="colophon" role="contentinfo">
     <div class="site-info">
      版权所有 © 2014 统计之都 | 由
      <a href="http://wordpress.org/">
       WordPress
      </a>
      构建 | 主题修改自
      <a href="http://wordpress.org/themes/twentythirteen">
       Twenty Thirteen
      </a>
     </div>
     <!-- .site-info -->
    </footer>
    <!-- #colophon -->
   </div>
   <!-- #page -->
   <p style="margin:0;padding:0;height:1px;overflow:hidden;">
    <a href="http://www.wumii.com/widget/relatedItems" style="border:0;">
     <img src="http://static.wumii.cn/images/pixel.png"/>
    </a>
   </p>
  </div>
 </body>
</html>